Главная Работы на конкурс Предметное образование Физико-математические дисциплины Исследовательская работа «Многоугольники на целочисленной решетке»

Исследовательская работа «Многоугольники на целочисленной решетке»

Автор: Карлович Анастасия Александровна

Место работы/учебы (аффилиация): ГУО "Грицкевичский учебно-педагогический комплекс детский сад - средняя школа", Минская область, Беларусь, 11 класс

Научный руководитель: Данилова Елена Ивановна

Мы часто предпочитаем рисовать и чертить на клетчатой бумаге. И даже не задумываемся о том, что она (а точнее – узлы клетчатой бумаги) являются одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Решетки на плоскости позволяют переводить на геометрический язык задачи алгебры, анализа, теории чисел и наоборот – задачи дискретной геометрии облекать в аналитическую форму.

Предлагаемая вниманию читателя исследовательская работа посвящена проблеме построения на целочисленной решетке многоугольников с заданными свойствами и вычислению их площади.

Цель исследования: построение многоугольников определенного типа на целочисленной решетке, нахождение их наименьшей (наибольшей) площади, оценка возможного количества таких многоугольников.

Задачи исследования:

  • для любых трех точек, лежащих в узлах целочисленной решетки и являющихся вершинами треугольника установить, чему равна наименьшая (наибольшая) площадь выбранного треугольника;
  • выяснить сколько можно выбрать треугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки; сколько среди них треугольников с площадью ½ (с площадью 1);
    выяснить сколько есть способов выбрать 4 точки в узлах целочисленной решетки, являющихся вершинами выпуклого четырёхугольника;
  • определить, чему равна наименьшая площадь выбранного выпуклого четырёхугольника;
    выяснить сколько есть способов, чтобы выбранные 4 точки были вершинами квадрата (параллелограмма, трапеции);
  • установить при каком наименьшем n внутри выпуклого n-угольника лежат 1, 2 или k точек с целочисленными координатами.

Гипотеза: существуют компьютерные программы, позволяющие построить на целочисленной решетке многоугольники с вершинами в узлах этой решетки и вычислить площади данных многоугольников; кроме известных из школьного курса математики формул для вычисления площадей многоугольников существует общая формула, позволяющая найти площадь многоугольника с вершинами в узлах целочисленной решетки.

Результаты: В результате проведенного исследования было установлено, что выдвинутая в начале исследования гипотеза верна. Так как действительно существует формула Пика, которая позволяет находить площади любых многоугольников на целочисленной решетке. Все построения в исследовании производились в компьютерной математической программе GeoGebra, что значительно облегчило процесс исследования. В этой же программе можно было проверить правильность вычисления площадей многоугольников, сравнив
результат с результатом, полученным по формуле Пика. На основании всего вышесказанного мы можем констатировать, что цель исследования достигнута. Вместе с тем данное исследование можно продолжить, рассматривая другие виды многоугольников, например, невыпуклые многоугольники или рассмотрев другие виды решеток.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Смотреть похожие работы

Проектная работа «Геометрия орнамента: преобразования фигур в казахских национальных узорах»

Цель проекта: исследовать взаимосвязь традиционных казахских орнаментов с математическими преобразованиями, а также разработать интегрированное пособие, которое будет способствовать более глубокому пониманию данной темы и расширению знаний о культурн…
Посмотреть работу

Исследовательский проект «Оптические иллюзии с точки зрения геометрической оптики»

Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы

Цель работы: изучение причины возникновения оптических иллюзий с позиции геометрической оптики и разработка конструкции простейшего голографического проектора для их демонстрации. Задачи: Изучить научную литературу по физиологии зрения и психологии в…
Посмотреть работу

Исследовательский проект «Программирование алгоритма построения сечения многогранников»

Цель: разработать веб-сайт для интерактивного построения сечений пространственных фигур. Задачи: изучить HTML, CSS, Javascript и Thee.js; разработать пользовательский интерфейс сайта; запрограммировать алгоритм построения сечений фигур; сделать вывод…
Посмотреть работу

Научно-исследовательская работа «Применение комплексных чисел»

Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы

Целью моей работы является изучение теоретических основ комплексных чисел и демонстрация их применения в различных сферах. Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи: проследить историю возникновения и развития понятия комплекс…
Посмотреть работу

Исследовательская работа «Парадокс Монти Холла и его применение в реальной жизни»

Цель: исследовать парадокс Монти Холла с теоретической и практической точек зрения и показать его значимость для принятия решений в реальных ситуациях с неопределённостью. Задачи: Изучить историю возникновения парадокса Монти Холла и его условия. Опи…
Посмотреть работу

Исследовательская работа «Живём объёмно: изучаем комфорт с помощью геометрии”

Цель работы: установить зависимость между геометрической формой жилища и уровнем комфорта современного жилья. Задачи: Проанализировать существующие геометрические формы жилых строений и выбрать для исследования несколько видов жилищ разных геометриче…
Посмотреть работу

Мероприятие завершено

Конкурс, в котором работа участвует

IV Международный конкурс исследовательских работ школьников «Research start 2021/2022»

Направление

Физико-математические дисциплины

Форма представления работы

Исследовательская работа

Ключевые слова

Проект по алгебре, Проект по геометрии

Дата публикации работы

16.02.2022