Методическая разработка «Решение квадратных уравнений с параметрами — пропедевтика научно-исследовательской работы учащихся»

В последние годы в тестах ЕГЭ и ОГЭ по математике, а также на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения получили широкое распространение задачи, содержащие параметры. Решение таких задач имеет учебно-исследовательский характер и играет важную роль в формировании логического мышления и развитии творческих способностей учащихся, а также в формировании научно-исследовательских умений. Таким образом, решение задач с параметрами, особенно квадратных уравнений с параметрами, является пропедевтикой научно-исследовательской работы учащихся.

На ЕГЭ по математике (задание С18), ОГЭ (задания части 2) и на вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами: первый — «Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства» и второй — «Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются определенные условия». Ответы в этих задачах различаются по существу: в первом типе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из них записываются решения уравнения; во втором — указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.

Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало внимания. Это приводит к значительным трудностям у учащихся, особенно в условиях конкурсного экзамена, где требуется успешное решение подобных задач. Многие учащиеся воспринимают параметр как «обычное» число, однако в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, принимающей неизвестные значения, и важно рассматривать задачу при всех возможных значениях этой величины. В других задачах удобно объявить параметром одну из неизвестных.

Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью — с их помощью можно проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, а также первоначальные навыки научно-исследовательской деятельности. Они также позволяют оценить перспективные возможности успешного овладения курсом математики в вузе.

Анализ вариантов ЕГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Квадратичная функция, являясь основной в школьном курсе математики, формирует широкий класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей — в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. При решении таких задач рекомендуется использовать три типа моделей: вербальную (словесное описание задачи), геометрическую (эскиз графика квадратичной функции) и аналитическую (систему неравенств, описывающую геометрическую модель).

Методическое пособие содержит теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек), применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Приведены подробные решения 20 задач с методическими рекомендациями. Назначение данного пособия — помочь выпускнику и учителю математики в подготовке к сдаче ЕГЭ и ОГЭ по математике, а также к вступительному экзамену в вуз в виде теста или в традиционной форме.