Главная Работы на конкурс Предметное образование Физико-математические дисциплины Исследовательская работа «Многоугольники на целочисленной решетке»

Исследовательская работа «Многоугольники на целочисленной решетке»

Автор: Карлович Анастасия Александровна

Место работы/учебы (аффилиация): ГУО "Грицкевичский учебно-педагогический комплекс детский сад - средняя школа", Минская область, Беларусь, 11 класс

Научный руководитель: Данилова Елена Ивановна

Мы часто предпочитаем рисовать и чертить на клетчатой бумаге. И даже не задумываемся о том, что она (а точнее – узлы клетчатой бумаги) являются одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Решетки на плоскости позволяют переводить на геометрический язык задачи алгебры, анализа, теории чисел и наоборот – задачи дискретной геометрии облекать в аналитическую форму.

Предлагаемая вниманию читателя исследовательская работа посвящена проблеме построения на целочисленной решетке многоугольников с заданными свойствами и вычислению их площади.

Цель исследования: построение многоугольников определенного типа на целочисленной решетке, нахождение их наименьшей (наибольшей) площади, оценка возможного количества таких многоугольников.

Задачи исследования:

  • для любых трех точек, лежащих в узлах целочисленной решетки и являющихся вершинами треугольника установить, чему равна наименьшая (наибольшая) площадь выбранного треугольника;
  • выяснить сколько можно выбрать треугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки; сколько среди них треугольников с площадью ½ (с площадью 1);
    выяснить сколько есть способов выбрать 4 точки в узлах целочисленной решетки, являющихся вершинами выпуклого четырёхугольника;
  • определить, чему равна наименьшая площадь выбранного выпуклого четырёхугольника;
    выяснить сколько есть способов, чтобы выбранные 4 точки были вершинами квадрата (параллелограмма, трапеции);
  • установить при каком наименьшем n внутри выпуклого n-угольника лежат 1, 2 или k точек с целочисленными координатами.

Гипотеза: существуют компьютерные программы, позволяющие построить на целочисленной решетке многоугольники с вершинами в узлах этой решетки и вычислить площади данных многоугольников; кроме известных из школьного курса математики формул для вычисления площадей многоугольников существует общая формула, позволяющая найти площадь многоугольника с вершинами в узлах целочисленной решетки.

Результаты: В результате проведенного исследования было установлено, что выдвинутая в начале исследования гипотеза верна. Так как действительно существует формула Пика, которая позволяет находить площади любых многоугольников на целочисленной решетке. Все построения в исследовании производились в компьютерной математической программе GeoGebra, что значительно облегчило процесс исследования. В этой же программе можно было проверить правильность вычисления площадей многоугольников, сравнив
результат с результатом, полученным по формуле Пика. На основании всего вышесказанного мы можем констатировать, что цель исследования достигнута. Вместе с тем данное исследование можно продолжить, рассматривая другие виды многоугольников, например, невыпуклые многоугольники или рассмотрев другие виды решеток.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Смотреть похожие работы

Исследовательская работа «Исследование парадоксального мира невозможных объектов»

Цель исследования: выявить принципы создания невозможных фигур и области их применения. Задачи исследования: Изучить литературу по теме невозможных фигур. Составить классификацию невозможных фигур. Рассмотреть методы построения невозможных фигур. Соз…
Посмотреть работу

Исследовательский проект «Математический закон симметрии в калейдоскопе»

Цель исследования: Собрать калейдоскоп и разобраться в принципах, создающих завораживающий зрительный эффект. Задачи исследовательского проекта: Изучить понятия «Симметрия» и «Калейдоскоп». Исследовать математический закон симметрии. Провести исследо…
Посмотреть работу

Исследовательский проект «В мире фракталов»

Цель проекта: познакомиться с таким математическим понятием как «фрактал», увидеть их красоту. Задачи проекта: познакомиться с историей появления фракталов; дать определение фрактала; изучить фракталы в разных сферах жизни; увидеть мир фракталов вокр…
Посмотреть работу

Индивидуальный проект «Геометрические формы аудио, видео и компьютерной техники»

Гипотеза: в аудио и видео технике можно рассмотреть различные геометрические формы. Цель: изучение геометрических форм аудио, видео и компьютерной техники. Задачи: Изучить понятие геометрической формы. Изучить устройство аудио, видео и компьютерной т…
Посмотреть работу

Исследовательская работа «Геометрия в игре «Бильярд»

Цель исследования: Выяснить, как взаимосвязаны между собой математика и занятия игрой «Бильярд». Задачи исследования: Изучить специальную литературу по данной теме. Выяснить, какие математические знания применяются при игре в бильярд. Определить, пом…
Посмотреть работу

Исследовательский проект «Геометрия на клетчатой бумаге или применение Z2 решетки»

Цель исследования — разработать систему учебного и задачного материала для 6-го класса, которая поможет эффективно решать геометрические задачи на клетчатой бумаге в рамках школьного математического кружка. Задачи исследования включают изучение базов…
Посмотреть работу

Мероприятие завершено

Конкурс, в котором работа участвует

IV Международный конкурс исследовательских работ школьников «Research start 2021/2022»

Направление

Физико-математические дисциплины

Форма представления работы

Исследовательская работа

Ключевые слова

Проект по алгебре, Проект по геометрии

Дата публикации работы

16.02.2022