Исследовательская работа «Многоугольники на целочисленной решетке»

Мы часто предпочитаем рисовать и чертить на клетчатой бумаге. И даже не задумываемся о том, что она (а точнее – узлы клетчатой бумаги) являются одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Решетки на плоскости позволяют переводить на геометрический язык задачи алгебры, анализа, теории чисел и наоборот – задачи дискретной геометрии облекать в аналитическую форму.

Предлагаемая вниманию читателя исследовательская работа посвящена проблеме построения на целочисленной решетке многоугольников с заданными свойствами и вычислению их площади.

Цель исследования: построение многоугольников определенного типа на целочисленной решетке, нахождение их наименьшей (наибольшей) площади, оценка возможного количества таких многоугольников.

Задачи исследования:

• для любых трех точек, лежащих в узлах целочисленной решетки и являющихся вершинами треугольника установить, чему равна наименьшая (наибольшая) площадь выбранного треугольника;
• выяснить сколько можно выбрать треугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки; сколько среди них треугольников с площадью ½ (с площадью 1);
  выяснить сколько есть способов выбрать 4 точки в узлах целочисленной решетки, являющихся вершинами выпуклого четырёхугольника;
• определить, чему равна наименьшая площадь выбранного выпуклого четырёхугольника;
  выяснить сколько есть способов, чтобы выбранные 4 точки были вершинами квадрата (параллелограмма, трапеции);
• установить при каком наименьшем n внутри выпуклого n-угольника лежат 1, 2 или k точек с целочисленными координатами.

Гипотеза: существуют компьютерные программы, позволяющие построить на целочисленной решетке многоугольники с вершинами в узлах этой решетки и вычислить площади данных многоугольников; кроме известных из школьного курса математики формул для вычисления площадей многоугольников существует общая формула, позволяющая найти площадь многоугольника с вершинами в узлах целочисленной решетки.

Результаты: В результате проведенного исследования было установлено, что выдвинутая в начале исследования гипотеза верна. Так как действительно существует формула Пика, которая позволяет находить площади любых многоугольников на целочисленной решетке. Все построения в исследовании производились в компьютерной математической программе GeoGebra, что значительно облегчило процесс исследования. В этой же программе можно было проверить правильность вычисления площадей многоугольников, сравнив
результат с результатом, полученным по формуле Пика. На основании всего вышесказанного мы можем констатировать, что цель исследования достигнута. Вместе с тем данное исследование можно продолжить, рассматривая другие виды многоугольников, например, невыпуклые многоугольники или рассмотрев другие виды решеток.