Главная Работы на конкурс Предметное образование Физико-математические дисциплины Исследовательская работа «Многоугольники на целочисленной решетке»

Исследовательская работа «Многоугольники на целочисленной решетке»

Автор: Карлович Анастасия Александровна

Место работы/учебы (аффилиация): ГУО "Грицкевичский учебно-педагогический комплекс детский сад - средняя школа", Минская область, Беларусь, 11 класс

Научный руководитель: Данилова Елена Ивановна

Мы часто предпочитаем рисовать и чертить на клетчатой бумаге. И даже не задумываемся о том, что она (а точнее – узлы клетчатой бумаги) являются одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Решетки на плоскости позволяют переводить на геометрический язык задачи алгебры, анализа, теории чисел и наоборот – задачи дискретной геометрии облекать в аналитическую форму.

Предлагаемая вниманию читателя исследовательская работа посвящена проблеме построения на целочисленной решетке многоугольников с заданными свойствами и вычислению их площади.

Цель исследования: построение многоугольников определенного типа на целочисленной решетке, нахождение их наименьшей (наибольшей) площади, оценка возможного количества таких многоугольников.

Задачи исследования:

  • для любых трех точек, лежащих в узлах целочисленной решетки и являющихся вершинами треугольника установить, чему равна наименьшая (наибольшая) площадь выбранного треугольника;
  • выяснить сколько можно выбрать треугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки; сколько среди них треугольников с площадью ½ (с площадью 1);
    выяснить сколько есть способов выбрать 4 точки в узлах целочисленной решетки, являющихся вершинами выпуклого четырёхугольника;
  • определить, чему равна наименьшая площадь выбранного выпуклого четырёхугольника;
    выяснить сколько есть способов, чтобы выбранные 4 точки были вершинами квадрата (параллелограмма, трапеции);
  • установить при каком наименьшем n внутри выпуклого n-угольника лежат 1, 2 или k точек с целочисленными координатами.

Гипотеза: существуют компьютерные программы, позволяющие построить на целочисленной решетке многоугольники с вершинами в узлах этой решетки и вычислить площади данных многоугольников; кроме известных из школьного курса математики формул для вычисления площадей многоугольников существует общая формула, позволяющая найти площадь многоугольника с вершинами в узлах целочисленной решетки.

Результаты: В результате проведенного исследования было установлено, что выдвинутая в начале исследования гипотеза верна. Так как действительно существует формула Пика, которая позволяет находить площади любых многоугольников на целочисленной решетке. Все построения в исследовании производились в компьютерной математической программе GeoGebra, что значительно облегчило процесс исследования. В этой же программе можно было проверить правильность вычисления площадей многоугольников, сравнив
результат с результатом, полученным по формуле Пика. На основании всего вышесказанного мы можем констатировать, что цель исследования достигнута. Вместе с тем данное исследование можно продолжить, рассматривая другие виды многоугольников, например, невыпуклые многоугольники или рассмотрев другие виды решеток.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Смотреть похожие работы

Проект «Геометрия в народных костюмах ханты и манси»

Геометрия – раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы. Это наука, которая тесно связана с окружающим нас миром. Круглые, квадратные, прямоугольные, треугольные и другие объекты – всё, что нас окружает, состоит из геометрических…
Посмотреть работу

Проект «История возникновения обыкновенных дробей»

Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы

Первое знакомство с дробями прошло еще в раннем детстве, когда я угощал половинкой шоколадки своего друга, делил пополам яблоко с мамой. В разговоре взрослых слышал четверть второго, три четверти пятого или треть первого. О том, что это дроби, я не п…
Посмотреть работу

Исследовательская работа «Симметрия в архитектурных сооружениях»

Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы

Актуальность: понятие симметрия проходит через всю историю человеческого искусства. Симметрия встречается абсолютно везде, её принципы играют важную роль в физике, математике, технике, музыке и поэзии, живописи и архитектуре а также широко используют…
Посмотреть работу

Научно-исследовательская работа «Блез Паскаль и его удивительный треугольник»

Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы

Актуальность: навыки решения задач с применением треугольника Паскаля помогут в рамках изучения школьного курса математики, при решении олимпиадных задач, в профессиональной деятельности. Цели: изучение  биографии Блеза Паскаля; изучение роли понятия…
Посмотреть работу

Проект «Паркеты и бордюры»

Тема актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий. Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво. Бордюры так же важны. Они используются в настенных росписях, в чугунном лить…
Посмотреть работу

Проект «Геометрия как искусство в работах Эшера Мориса»

Геометрия как искусство присутствует в работах Мориса Эшера уже более полувека, но актуальность данной темы сохраняется и по сей день. Эшер использовал геометрические формы, оптические иллюзии, перспективу и многие другие математические принципы в св…
Посмотреть работу

Мероприятие завершено

Конкурс, в котором работа участвует

IV Международный конкурс исследовательских работ школьников «Research start 2021/2022»

Направление

Физико-математические дисциплины

Форма представления работы

Исследовательская работа

Ключевые слова

Проект по алгебре, Проект по геометрии

Дата публикации работы

16.02.2022