Исследовательский проект «Уравнения в целых числах»

Исследование диофантовых уравнений — уравнений в целых числах — интересовало математиков с древних времен до современности. Общего подхода к решению таких уравнений открыть не удалось, не зря их называют неопределенными. Решение таких уравнений рассматривают и для натуральных значений переменных. В этом случае количество решений ограничено. Какое количество натуральных решений может быть у диофантового уравнения? Такой вопрос стал главным в нашей работе.

Основой для нашего исследования послужила задача Минского открытого турнира юных математиков 2022 года, в которой предлагалось изучить количество натуральных решений уравнения 𝑥 ² − 𝑦 ² = 𝑁 для разных значений N. Этапы исследования совпадают с этапами (пунктами) решения задания.

Цель: найти способ (формулу), позволяющий определить количество натуральных решений уравнения 𝑥 ² − 𝑦 ² = 𝑁.

Задачи исследования:

• выяснить при каких условиях уравнение имеет натуральные решения;
• сравнить количество натуральных решений уравнения для разных значений N;
• найти все значения N (меньшие 1000000), при которых уравнение имеет заданное количество решений (три натуральных решения);
• обобщить полученные результаты для чисел других видов.

Объект исследования: диофантово уравнение.

Предмет исследования: уравнение вида 𝑥 ² − 𝑦 ² = 𝑁.

Методы исследования:

• анализ источников информации;
• анализ по четности и нечетности;
• преобразование алгебраических выражений;
• методы решения уравнений в натуральных числах;
• выделение полного квадрата.

Гипотеза: для любого натурального числа N можно определить количество натуральных решений уравнения 𝑥 ² − 𝑦 ² = 𝑁, не решая это уравнение.