Исследовательская работа «О решении классических задач на построение средствами шаблона»

В каждом треугольнике можно выделить несколько замечательных точек, таких как инцентр, ортоцентр, центроид и другие. К задачам конструктивной геометрии относят задачи на построение с помощью ограниченного числа инструментов. Традиционно можно восстанавливать треугольник имея стороны, углы и другие элементы треугольника, но возможно ли восстановить треугольник имея не данные, а точки этого треугольника?

Первой печатной работой на эту тему, скорее всего, была статья Л. Эйлера «Лёгкое решение одной трудной геометрической задачи». В ней Эйлер поставил вопрос о восстановлении треугольника по ортоцентру 𝐻, центроиду 𝑀, инцентру 𝐼 и центру описанной окружности 𝑂. Ясно, что если эти точки совпадают, то треугольник является правильным, но восстановить его невозможно. Если же эти точки не совпадают, то треугольник по ним определяется однозначно.

Первое обобщение этого труда Эйлера было сделано в 1982 году Вильямом Верником. В своей работе Верник расширяет список точек для восстановления треугольника до следующего: 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑂 — вершины треугольника и центр описанной окружности; и 𝑀 — середины сторон 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴 соответственно и центроид; и 𝐻 — основания высот из вершин 𝐴, 𝐵 и 𝐶 соответственно и ортоцентр; и — основания биссектрис из вершин 𝐴, 𝐵 и 𝐶 соответственно и инцентр. Список Вильяма Верника составляет 139 задач, причём остались, пока нерешёнными 12. И все эти задачи решаются с помощью циркуля и линейки.

Под шаблоном, в данном исследовании, мы понимали геометрическую фигуру (треугольник и круг), которую можно обводить на бумаге и получать его копию или его часть.

Цель исследования: поиск решения задач на восстановление треугольника по заданным точкам с помощью шаблона.

Задачи исследования:

1. Описать аксиомы шаблонных построений.
2. Решить базовые задачи, решаемые циркулем и линейкой, средствами шаблона.
3. Решить задачи из списка Вильяма Верника средствами шаблона (найти решение или показать, что оно не существует).