Проект «Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней из заданного промежутка»

Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических – бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной особенностью тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

При изучении тригонометрических уравнений в общеобразовательной школе не хватает времени для более глубокого рассмотрения различных методов решения уравнений, в том числе и нестандартных. И особенно встает вопрос рассмотрения способов отбора корней тригонометрических уравнений, т.к. задания такого типа отсутствуют в школьном учебнике по математике 10-11 класса.

Актуальность выбора темы заключается в том, что тригонометрические уравнения включены во вторую часть Единого Государственного Экзамена. Задания такого плана содержат две части: непосредственное решение уравнения, в результате которого получается бесконечное множество корней, и последующий отбор корней на предмет принадлежности конкретному промежутку. Новизна исследования состоит в что показана возможность эффективного решения отдельных тригонометрических уравнений.

Целью проекта является систематизация и расширение знаний и умений, связанных с применением методов решения тригонометрических уравнений и способов отбора корней в тригонометрических уравнениях и создание справочного материала для подготовки к ЕГЭ по математике.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1. Классифицировать тригонометрические уравнения по способам решения.
2. Научиться решать тригонометрические уравнения различных видов.
3. Изучить различные способы отбора корней тригонометрического уравнения из заданного промежутка.
4. Научиться отбирать корни тригонометрического уравнения, принадлежащие промежутку.
5. Сделать подборку задач из ЕГЭ по соответствующей теме, используя открытый банк заданий ФИПИ.
6. Создать справочный материал для подготовки к ЕГЭ.

Методы исследования: анализ, сравнение, систематизация

При работе над моим проектом я сначала изучила методы решения тригонометрических уравнений. При решении уравнений из открытого банка заданий ФИПИ классифицировала их по способам решения. Затем изучила различные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и, применяя различные способы отбора корней при решении задач, пришла к выводу, что алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения в случае, когда корни уравнения принадлежат небольшому промежутку, проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Но здесь возникают трудности обоснованием выбора корней из промежутка и обозначением точек на единичной окружности. Наименее используемым способом является функционально-графический. Для него необходимо хорошо знать раздел тригонометрии «Тригонометрические функции, их свойства и графики» и уметь строить графики тригонометрических функций. Т.е. данный способ очень трудоемкий. Как показывает практика из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наименьшее количество ошибок при отборе корней уравнений допускается в случае, когда отбор проводится с помощью неравенства, т.к. этот способ сразу дает однозначность нахождения значения целочисленного параметра. Школьные учебники не раскрывают в полной мере тему «Тригонометрические уравнения и способы отбора корней уравнения из заданного промежутка», а в ЕГЭ по математике задание такого типа присутствует.