Исследовательская работа «Использование метода математической индукции для решения олимпиадных задач»

Метод математической индукции широко применяется в разных разделах математики, начиная от элементарного школьного курса и до разделов, исследуемых в самые последние годы. Ясно поэтому, что без овладения этим методом нельзя серьезно изучить даже школьный курс математики. Мало этого, идеи математической индукции имеют большое общеобразовательное значение, и поэтому ознакомление с ними представляет интерес даже для людей далеких от математики и ее приложений.

Метод математической индукции – один из основных способов доказательства утверждений, справедливых на всем множестве натуральных чисел. Иногда утверждения могут быть сформулированы для всех натуральных чисел n ≥ p₀, иногда – на множестве натуральных четных чисел и т. п.

Основой для доказательства таких утверждений является принцип математической индукции – аксиома, выражающая свойства натурального ряда чисел:

Если утверждение A(п) верно для п = 1 и предполагая справедливость A(п) при п = k > 1, удается доказать справедливость A(п) при п = k + 1, то утверждение А(п) верно для любого натурального числа п.

В соответствии с приведенным выше принципом математической индукции доказательство методом математической индукции состоит из нескольких этапов (шагов).

• Первый этап (базис индукции) – это доказательство следующей теоремы: утверждение А(1)истинно. Обычно эта теорема доказывается проверкой.
• Второй этап (индукционное предположение) – это следующее предположение: пусть утверждение А(k)истинно для некоторого произвольного натурального k≥1.
• Третий этап (индукционный переход) – это доказательство следующей теоремы: утверждение А(k + 1) верно.

При доказательстве индукционного перехода используются базис индукции и индукционное предположение, т.е. при доказательстве справедливости утверждения А(k + 1) мы считаем, что утверждения А(1) и А(k) справедливы для некоторого произвольного k≥1.

Целью работы является исследование возможностей использования метода математической индукции для решения олимпиадных задач.

Задачи: применить метод математической индукции для доказательства равенств, неравенств, а также для доказательства признаков делимости.