Исследовательская работа «Число, треугольник, ковер, салфетка, губка, снежинка, игра, пространство, кратер – что их может объединять?»

Математика — удивительная наука. С ее помощью можно обнаружить связь между объектами, на первый взгляд, не имеющими между собой ничего общего. Вот пример: казалось бы, что общего между числом, треугольником, ковром, салфеткой, губкой, снежинкой, игрой, пространством и кратером? Каждый из этих объектов уникален, но если попробовать их объединить, то помочь в этом может одно имя — Серпинский. Польский математик Вацлав Серпинский дал свое имя таким объектам, как ковер Серпинского, треугольник Серпинского, кривая Серпинского, игра Серпинского, пространство Серпинского, кратер Серпинского. И все эти объекты непосредственно связаны с фракталами. Фракталы пронизывают различные аспекты нашей жизни. Они встречаются в природе, например, в снежинках и облаках, где их формы и узоры создают изумительные визуальные эффекты. В искусстве фракталы находят своё выражение в дизайне тканей, ковров и орнаментов, придавая им уникальность и гармонию. Однако фракталы не только красивы, но и имеют глубокие математические корни. Их изучение открывает двери в мир теории хаоса — науки, исследующей сложные системы и непредсказуемое поведение. Внутри хаоса скрываются фрактальные структуры, которые, несмотря на свою сложность, поддаются математическому описанию и анализу.

Гипотеза нашей работы заключается в том, что фракталы и хаос взаимосвязаны и могут объяснять, как возникают сложные формы и структуры в природе. Мы предполагаем, что фракталы могут возникать из хаотических процессов.

Цель данной исследовательской работы — выяснить, как фракталы и хаотические системы связаны между собой и как они проявляются в реальной жизни.

Поставленная цель определила задачи исследования:

1. Изучить основные свойства фракталов и хаотических систем.
2. Привести примеры фракталов и хаотических процессов.
3. Рассмотреть, как фракталы могут возникать в результате хаоса.
4. Провести небольшое моделирование фракталов с помощью компьютерной программы.

Эти задачи определили методы, которые были использованы в ходе выполнения работы:

• анализ литературы и источников: изучение  научных статей и публикаций, посвященных теории фракталов и теории хаоса;
• математическое  моделирование: построение моделей, описывающих хаотическое поведение;
• компьютерное моделирование: использование компьютерных программ для построения фракталов;
• абстрагирование: отвлечение от несущественных свойств фигур и фиксация внимания на существенных;
• наблюдение: изучение особенностей поведения динамических систем;
• эксперимент: проведение компьютерных экспериментов для построения фракталов и аттракторов;
• визуализация: графическое представление фракталов; хаотических аттракторов.

Актуальность темы заключается в том, что понятия, рассматриваемые работе помогают нам понять, как устроен окружающий нас мир. Фракталы можно увидеть в природе: например, в форме деревьев, облаков и береговых линий. Теория хаоса объясняет, как малые изменения могут привести к большим последствиям, например, в погоде или в движении планет. Изучение этих учений помогает лучше понять, как фракталы и хаос влияют на окружающий мир и как они могут быть связаны друг с другом.