Исследовательская работа «Игры на клетчатом поле»

В свободное от учёбы время я разгадываю различные головоломки, поскольку решение таких задач способствует развитию логического мышления, сообразительности, внимательности, тренирует память. Одна из них – задача №9 была предложена на пятом мини-турнире юных математиков Минской области. Меня она заинтересовала, и я решил её исследовать.

Цель работы: найти значения a и b, при которых (а;b) — слон достигает клетку, отстоящую на n единиц по диагонали от начальной клетки, при nєN. Найти для таких слонов алгоритм достижения n-ой клетки.

Объект исследования: (a;b) — слоны.

На клетчатом поле (а;b) — слоном будем называть фигуру, делающую ходы следующего рода: она идёт на а клеток по диагонали, поворачивает на 90° в какую-либо из сторон и идёт на b клеток по перпендикулярной диагонали [1].

Задачи исследования:

1. Определить: можно ли присвоить обычному слону какие-либо а и b; сколько возможных ходов из начальной клетки может сделать (а;b) — слон; верно ли, что множество клеток, в которые могут ходить (а;b) и (b;а) — слоны совпадают. Найти НОД(а;b)
2. Определить при каких значениях a и b соответствующий (а;b) — слон может за несколько ходов дойти до первой по диагонали от начальной клетки. Найти НОД(а;b). Построить для таких слонов алгоритм достижения этой клетки.
3. Определить при каких значениях а и b соответствующий (а;b) — слон может дойти до клетки, отстоящей от начальной клетки на две по диагонали. Найти НОД(а;b). Построить алгоритм достижения этой клетки.
4. Сделать обобщения, и определить значения a и b для (а;b) — слонов которые могут дойти до клетки, отстоящей на n единиц по диагонали от начальной клетки. Найти НОД(а;b). Построить для таких слонов алгоритм достижения n-ой клетки. [1]

Методы исследования:

1. Мыслительный эксперимент.
2. Лабораторный эксперимент.
3. Анализ полученных в ходе исследования данных.

Гипотеза: Существуют значения a и b, при которых (а;b) — слон может дойти до клетки, отстоящей на n единиц по диагонали от начальной клетки, двигаясь по определённому алгоритму, при nєN.

Результаты и выводы. Гипотеза, которая была предложена в начале исследования, подтвердилась.

Выводы:

1. Для (а;b)=(1;2k) — слона, где kєN или k=0, а также (а;b)=(k+1;k), где kєN или k=0, существует алгоритм достижения первой по диагонали от начальной клетки.
2. Для (а;b)=(1;t) — слона, где tєN или t=0, а также (а;b)=(2;k), где k=2m, (а;b)=(k+1;k), где kєN, (а;b)=(k+2;k) — слона, где kєN или k=0, существует алгоритм достижения второй от начальной клетки.
3. Существует алгоритм достижения (а;b) — слоном n-ой от начальной клетки, при nєN:

а) для n=2m:

(а;b)=(1;t), где t=0 или tєN; (а;b)=(dn;n), где d=2c и n=2m;

(а;b)=(k+n;k), где k=2e+1 или k=2e, где eєN и =2f+1 и =2z+1, где fєN и z єN.

б) для n=2m+1, mєN, (а;b)=(1;t), где t=2k, а также (а;b)=(2n;n), где nєN.