Научно-исследовательский проект «Метод бильярда. Решение задач»

Целью этого проекта является написание программы, строящей траекторию биллиардного шара в прямоугольной области, и исследование условий замкнутости и незамкнутости траекторий в зависимости от размеров биллиардного стола и угла удара.

Для выполнения исследования нужно было решить следующие задачи:

• построить математическую модель нахождения траектории шара;
• разработать алгоритм построения траектории шара;
• написать программу, рисующую траектории;
• изменяя начальные параметры (размеры стола и направление удара), сделать вывод об условиях замкнутости
  траектории;
• сравнить полученные результаты с известными ранее.

В результате выполнения проекта была построена математическая модель движения шара, в частности, были наложены условия, упрощающие задачу: отсутствие трения, абсолютная упругость удара (угол падения равен углу отражения), отсутствие срединных лунок. Был разработан алгоритм построения траектории шара и реализован на языке PascalABC. В результате машинного эксперимента было установлено, что в случае целых сторон и рациональных угловых коэффициентов траектории будут замкнутыми. Если же траектории незамкнуты, то они постепенно закрашивают весь прямоугольник, что согласуется с известными результатами.

Основные выводы можно разбить на две группы: математические и связанные с программированием.

1. Для решения задачи нахождения траектории биллиардного шара оказалось достаточным знать уравнение прямой и уметь решать системы линейных уравнений.
2. Если угловой коэффициент линии удара пропорционален отношению сторон, то траектории будут замкнутыми, что согласуется с известным ранее результатом.
3. Если угловой коэффициент линии удара не пропорционален отношению сторон, то траектории застилают весь стол. Это означает, что рано или поздно шар попадет в срединную лунку или столкнется с другим шаром, где бы он ни лежал.
4. В силу того, что на экране конечное число пикселей, даже в случае рационального углового коэффициента наблюдался эффект незамкнутости траекторий.
5. Метод математического бильярда может быть использован для решения задач на переливания.